Δ Cette invariance par rapport aux changements de référentiel, et la vérification des formules du quadrivecteur impulsion du système font que cette définition répond à toutes les propriétés attendues pour une masse. . permettent de déterminer les énergies des deux nouvelles particules : 1 Elle représente un ensemble d'équations différentielles[13] aux dérivées partielles hautement[14],[15] non-linéaires du second ordre[16]. Δ μ ... Cette équation est extrêmement simple et extrêmement belle. qui est un tenseur symétrique de rang 2 dépendant de la métrique τ s'est convertie en énergie cinétique pour les deux nouvelles particules, énergie que l'on retrouve dans et {\displaystyle E^{2}-p^{2}c^{2}} 2 , on aboutit donc pour chaque référentiel à deux lois de conservation, l'une pour l'énergie, l'autre pour la quantité de mouvement (ou impulsion). ≠ → Montrons que dans une composition de vitesses les paramètres angulaires de vitesse s'ajoutent. 2 1 m sans critère décisif[11]. 2) Expérience d’Ives (1938) On … x m 2 {\displaystyle d\mathbf {p} /d\tau } 0 , 2 Λ ⁡ La Relativité restreinte expliquée aux enfants (de 7 à 107 ans) Charles-Michel Marle marle@math.jussieu.fr Universite Pierre et Marie Curie, Paris, France´ Albert Einstein Century International Conference, Paris, 18–22 July 2005 La Relativite restreinte expliqu´ ee aux enfants – … Clairement la valeur 1,5c que nous donnerait la formule galiléenne est fausse puisque la vitesse obtenue dépasserait celle de la lumière. E 1 p Quelle est la vitesse de cette particule ? ) 2 2 r , donc L'angle paramétrique de vitesse de l'obus par rapport à la fusée est g ∗ j On remarque ainsi qu'une particule se déplaçant à la vitesse de la lumière n'a pas de temps propre, ou encore que son temps propre ne s'écoule pas : Devenu « principe de relativité », son énoncé sera ensuite modifié par Einstein pour être étendu aux référentiels non inertiels : de « restreinte », la relativité deviendra « générale », et traitera de plus de la gravitation, ce que ne fait pas la relativité restreinte. , le temps propre . Le temps propre d'un trajet est dessiné plus grand que le temps du référentiel, alors qu'il est plus court : c'est une limite de cette représentation graphique. − {\displaystyle \tanh \theta =v/c\equiv \beta \qquad {\text{soit}}\qquad \theta =\operatorname {artanh} (v/c)\equiv \operatorname {artanh} \,\beta }, Avec ces notations on obtient R ; E , cette désintégration ne peut pas être spontanée, elle ne peut se réaliser qu'après apport d'une énergie au moins égale à son « énergie de liaison » égale à . ′ Donc « une particule est de masse nulle » est équivalent à « sa vitesse est la vitesse de la lumière ». 2 ( x z La durée d'un aller-retour dans un référentiel est égale au quotient du trajet effectué dans ce référentiel par la vitesse de la lumière, laquelle ne dépend pas du référentiel. ( La ligne courbe représente la suite d'événements constituant le voyage de la fusée. La définition employée est celle qui permet d'utiliser les égalités relativistes le plus simplement : le référentiel dit « du centre d'inertie » est le référentiel R* dans lequel l'impulsion totale est nulle, soit La relativité générale modifie quelque peu cette équation en transformant la dérivée partielle en dérivée covariante : Cette modification n’est pas anodine comme on le verra un peu plus loin. , on a la relation, En exprimant le carré de l'impulsion des différents électrons en fonction de leur énergie et de leur masse à l'aide des formules indiquées ci-dessus on obtient, Comme K = K1 + K2 on aboutit facilement à la formule finalement simple. ( → c En cinématique galiléenne les vitesses s'ajoutent et on aurait. , le premier référentiel {\displaystyle p=E/c} Ces équations, ainsi que l'équation de la géodésique, forment le cœur de la formulation mathématique de la relativité générale. ) − cosh , ainsi Finalement, les égalités tanh w {\displaystyle \beta =v/c\qquad \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\,. et/ou La composante temporelle représentant l'énergie E du système et la composante spatiale représentant son impulsion | / 1 on trouve que. En effet, si la particule ne bouge pas (x = constante) le temps continue à s'écouler pendant la période considérée ! 2 u / e Le choix du signe moins deviendra évident lors de notre étude de l'électrodynamique. − Deux événements situés respectivement en x1,y1,z1,t1 et en x2 y2, z2, t2 sont séparés par un « intervalle d'espace-temps » dont le carré est défini par. {\displaystyle \tau \,} d On remarque que Cependant, des approximations sont généralement faites dans ces cas. Δ 2 → {\displaystyle \ M-(m_{1}+m_{2})} ⁡ Le lecteur intéressé par cet aspect peut consulter, par exemple, de Jean-Marc Levy-Leblond, Special Relativity Without the Second Postulate, Essential relativity : special, general and cosmological, D'après James H. Smith, Introduction à la relativité, chez Masson édition de 1997, page 101 (chapitre "le paradoxe des jumeaux"), Tous ces paradoxes sont étudiés en détail par. E − ) τ t 1 . x ν la Théorie de la relativité restreinte (ou relativité restreinte), Développé par Albert Einstein en 1905, Il est une reformulation et l'extension des lois de mécanique.En particulier, il est nécessaire de décrire événements qui se produisent à haute énergie et vitesse proche de celle de lumière, réduire la mécanique classique dans d'autres cas. + θ p {\displaystyle \ \Delta t^{2}} Exercices de relativité restreinte. 1 − x s > v Les nombres considérables que l'on obtient montrent que leur analyse exige l'emploi des formules de la relativité restreinte.   v , et on obtient 0 En relativité restreinte une longueur et un temps devraient se mesurer avec la même unité (ce que nous n'avons pas fait ici de façon systématique). Δ 2 {\displaystyle {\mathcal {R}}} Événement : un événement est tout phénomène localisable dans le temps et l'espace, comme la naissance d'un individu, le départ d'une fusée ou le tir d'un pétard. {\displaystyle (g_{\mu \nu })={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}\ }. 2 θ → 2 s on a = ∗ Δ v Cette vitesse limite est impossible à atteindre pour une particule massive, seules les particules de masse nulle, comme le photon, peuvent se déplacer à la vitesse de la lumière. 1 Elle n'en diffère que par moins de 10-22 (mais ne peut en aucun cas l'égaler). Λ c Autrement dit la vitesse du proton considéré est quasiment égale à la vitesse de la lumière. 2 − . Δ {\displaystyle \tanh(\theta +\alpha ')={\frac {\tanh \theta +\tanh \alpha '}{1+\tanh \theta \,\tanh \alpha '}}} 0,973 = ⋅ 4 2 w , β ′ | ] {\displaystyle \Lambda } v ( Remarques: R1. . Selon cette théorie, la vitesse de la lumière ne devait dépendre que des propriétés électriques et magnétiques du milieu, ce qui posait un problème dans le cas où ce milieu est le vide car cela suggère une indépendance de la vitesse de la lumière par rapport au référentiel de l'instrument de mesure : si on émet un faisceau lumineux depuis la fusée vers l'avant ou vers l'arrière, la vitesse de la lumière mesurée par rapport à la Terre sera la même, contrairement au boulet. Elle est écrite en termes de composants. μ [ z 0 r {\displaystyle {\vec {w}}\,} et e 2 . m {\displaystyle \ \Delta y\neq 0} v ) ⇒   = = Quelle est la vitesse [35],[34]. β . Le paramètre angulaire correspondant à la vitesse c est infini puisque artanh(x ), l'argument tangente hyperbolique de x, tend vers l'infini lorsque x tend vers 1. {\displaystyle p_{1}^{2}=p_{2}^{2}} E 2 g m Σ . 1 On a donc (théorème de Pythagore) : On retrouve donc de façon simple la formule antérieure donnant la dilatation du temps. m 3 2 1,946 La relativité galiléenne énonce, en langage moderne, que toute expérience faite dans un référentiel inertiel se déroule de manière parfaitement identique dans tout autre référentiel inertiel. On écrira ci-dessous les formules relatives à une vitesse pointant dans une direction quelconque. p   Le temps est le même dans chacun des référentiels R et R’, ce qui n’est plus le cas en relativité restreinte où t ≠ t’. − 0,973 γ 4 s p Δ v 1 T 2 − Les deux postulats de la relativité restreinte sont les suivants : Le premier postulat est le principe de relativité proprement dit, dans sa conception restreinte à la classe des référentiels inertiels. . {\displaystyle \ m_{1}.c^{2}+m_{2}.c^{2}-M.c^{2}} − 2 la vitesse relative entre les deux référentiels[20] : Du fait de la définition du quadrivecteur énergie-impulsion, en particulier de sa coordonnée temporelle, on aboutit à l'expression de l'énergie totale de la particule dans le référentiel du laboratoire, celui par rapport auquel la particule est animée de la vitesse sin Δ y y 2 }, Ces expressions se simplifient et prennent une forme proche d'une rotation si on fait intervenir les fonctions hyperboliques de paramètre θ, appelé rapidité, qui est un angle de « rotation » dans l'espace de Minkowski, défini par ν L'approximation des champs faibles et des mouvements lents permet de retrouver l'équation de Poisson de la gravitation de Newton : Il est possible de modifier l'équation des champs d'Einstein en introduisant un terme proportionnel à la métrique : (on précisera que cette équation est vraie dans un système d'unités géométriques tel que G = c = 1, sinon on doit lire : (8πG/c4)Tμν. Einstein a conçu la relativité restreinte dans le but d’éliminer l’incompatibilité entre la mécanique newtonienne et l’invariance de la vitesse de propagation des ondes électromagnétiques. {\displaystyle {\vec {v}}=\left({{\Delta x} \over {\Delta t}};{{\Delta y} \over {\Delta t}};{{\Delta z} \over {\Delta t}}\right)} 0 n w ` Ainsi un observateur attribue à un corps en mouvement une longueur plus courte que la longueur attribuée à ce même corps au repos et la durée des phénomènes qui affectent le corps en mouvement est allongée par rapport à cette « même » durée mesurée par des observateurs immobiles par rapport à ce corps. E Roland Lehoucq, astrophysicien au CEA, vous propose un cours de 2 heures sur la relativité générale et la relativité restreinte. 2 Démonstration : E=mc 2 → . 2 = ( 1 c 1 1 {\displaystyle \ E_{1}^{2}-E_{2}^{2}=m_{1}^{2}.c^{4}-m_{2}^{2}.c^{4}} − − Dans un référentiel d'inertie (par exemple le référentiel terrestre en première approximation, nommé ci-après référentiel du laboratoire) les coordonnées des évènements liés à la particule suivie sont (t, x, y, z) et les composantes dans ce référentiel du quadrivecteur énergie-impulsion du mobile sont : Comme ce quadrivecteur est proportionnel à la quadrivitesse (qui est de pseudo-norme c) par des coefficients invariants par changement de référentiel inertiels, on a, dans tout référentiel inertiel : où C'est une des raisons pour lesquelles nous avons des difficultés à appréhender concrètement le fonctionnement de la relativité restreinte. p θ Ainsi les effets relativistes ne deviennent significatifs que pour des vitesses proches de la vitesse de la lumière, impossibles à atteindre dans la vie courante (mais pas en laboratoire : les accélérateurs de particules permettent au contraire d'atteindre des vitesses allant jusqu'à quelques mètres par seconde de moins que c seulement[18]). {\displaystyle \mathbf {u} \,} − v c 2 1 Cela a été fait par Poincaré et ensuite par MM. Re : Relativité restreinte: l'équation de transformation du temps J'ai fait un peu de calculs depuis tout-à-l'heure et j'y suis presque, voici à quoi j'arrive: Je prends l'exemple d'un vaisseau qui va à une vitesse v (rectiligne uniforme selon la direction x) par rapport à un observateur que l'on définira comme étant fixe. à la place du vecteur {\displaystyle {\vec {B}}} p Δ , la courbe décrite par cet événement dans un espace à quatre dimensions (trois pour l'espace, une pour le temps) prenant alors le nom de « ligne d'univers ». , étant donné une distribution de matière et d'énergie exprimée sous la forme d'un tenseur énergie-impulsion. {\displaystyle 1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}=\left[1+\left({\frac {v}{c}}\right)\right]\left[1-\left({\frac {v}{c}}\right)\right]\simeq 2\left[1-\left({\frac {v}{c}}\right)\right]} et = Une importante conséquence de l'équation d'Einstein est la conservation locale de l'énergie et du moment. β Le facteur γ est toujours défini par γ = [1 - (v/c)2]-1/2. 0 En raison du caractère hautement non linéaire des équations, il n'existe pas de solution analytique générale pour une distribution quelconque de matière[14],[15]. − ( − ′ 2 ϕ ⁡ − Rappels de relativité restreinte 1. Celui-ci permet de caractériser la distribution de matière et d'énergie, sources d'un champ gravitationnel. Ce sera la vitesse relative entre les deux référentiels qui va donner des différences de mesures pour une même expérience. m t En prenant à nouveau un référentiel sphérique de l'espace-temps . En 1929, il obtint cette équation qui, ... Mais, parmi les nombreuses descendantes de la relativité restreinte, ce n'est pourtant pas celle qui a été le mieux validée expérimentalement. Montrer alors que la / {\displaystyle \mathbf {p^{*}} =\Sigma _{\text{J}}\,\mathbf {p^{*}} _{\text{J}}={\vec {0}}} 2 par rapport au référentiel 0 2 Relativité générale pour débutants Michel Le Bellac ... il contient les notions n ecessaires de relativit e restreinte et de g eom etrie di eren tielle. , où {\displaystyle {\mathcal {R}}} Celui-ci permet de caractériser la distribution de matière et d'énergie, sources d'un champ gravitationnel. Cette équation démontre que dans une transformation de Lorentz le rayon vecteur qui représente l'intervalle entre deux événements (ds²) et le temps propre restent invariables. z . , alors les deux événements sont simultanés aussi bien dans l'un que dans l'autre référentiel. En 1887, une expérience a été conduite par Michelson et Morley pour mesurer la vitesse de la Terre par rapport à cet éther : expérience similaire à celle de la fusée évoquée ci-dessus, et où la Terre tient elle-même le rôle de la fusée. , et en supposant que quand les origines spatiales des deux référentiels étaient confondues, les horloges (fixes dans les référentiels respectifs, en O et O′) indiquaient toutes deux t = 0 et t′ = 0 (initialisation des horloges). s Δ d + = α 2 → Les équations correspondantes conduisent à des prévisions de phénomènes qui heurtent le sens commun (mais aucune de ces prévisions n'a été infirmée par l'expérience), un des plus surprenants étant le ralentissement des horloges en mouvement[1], qui a permis de concevoir l'expérience de pensée souvent appelée paradoxe des jumeaux. L'existence d'une constante cosmologique est alors équivalente à l'existence d'une énergie du vide non nulle. Cependant pour des mesures très précises de temps de trajets utilisées dans les expériences spatiales et aussi par le GPS, il faut impérativement tenir compte des corrections relativistes (à la fois celles de la relativité restreinte et de la relativité générale d'ailleurs). + {\displaystyle \ \Delta \tau ={\frac {\Delta s}{c}}} On l'appelle souvent vecteur « énergie-impulsion », en exprimant ainsi le fait qu'énergie et impulsion (du moins quantité de mouvement) sont réunies en un concept physique de manière indissociable, de la même façon que l'espace et le temps composent l'espace-temps. , appelée « carré de l'intervalle d'espace-temps », est un invariant relativiste : sa valeur ne dépend pas du référentiel inertiel dans lequel on l'évalue, les transformations de Lorentz montrant que La dernière modification de cette page a été faite le 1 décembre 2020 à 14:03. − {\displaystyle \,{\vec {v}}\,} . [ On trouve facilement dans la littérature[22] le traitement du cas où le choc est symétrique, les deux électrons possédant chacun la même énergie K1 = K2 = K/2. 1 y En réalité la présentation précédente est quelque peu incorrecte dans la mesure où pour tirer parti de toute la puissance de la théorie relativiste il est nécessaire de faire appel aux tenseurs. Un changement de référentiel galiléen donne de nouvelles valeurs à l'énergie cinétique et aux coordonnées de la quantité de mouvement du système, mais ces valeurs aussi sont conservées dans le temps, dans ce référentiel. . 1 m {\displaystyle \ \Delta t} 1 la relativité restreinte, 3. ( 2 De même que la quantité de mouvement d'une particule, dont la variation est souvent appelée à tort « impulsion » par anglicisme, était le produit «  car Einstein ne reçut jamais un prix Nobel pour la relativité, ce prix n'étant, en principe, jamais accordé pour une théorie pure. z c t c et y 2 2 v Δ L3etMagistère1ere année 2019/2020 TDderelativitérestreinten 1 Principe de relativité et premières conséquences ... de l’équation (1). {\displaystyle \beta ={\frac {v}{c}}} L'identification de c à la vitesse de la lumière, établie comme finie par les observations, se traduit par le second postulat. Supposons qu'un corps au repos, de masse M, se désintègre spontanément en deux parties de masses (masses au repos) respectives / , 0 Mais deux horloges en mouvement l'une par rapport à l'autre ne peuvent pas être synchronisées, la simultanéité ne pouvant être la même pour deux référentiels inertiels en mouvement l'un par rapport à l'autre. E artanh 2 Ces équations, ainsi que l'équation de la géodésique, forment le coeur de la formulation mathématique de la relativité générale. La Relativité restreinte expliquée aux enfants (de 7 à 107 ans) Charles-Michel Marle To cite this version: Charles-Michel Marle. Principe de relativité généralisé: les équations cherchées doivent être covariantes afin de satisfaire au principe de relativité généralisé. τ c < Σ v   Imaginons qu'un boulet soit tiré avec la vitesse w'  = 0,75c dans le référentiel d'une fusée se déplaçant elle-même à la vitesse v = 0,75c par rapport à la Terre. = 0 = Σ {\displaystyle \Delta \tau <\Delta t} d = ) c La valeur de la masse totale M* du système ainsi obtenue est indépendante du référentiel dans lequel on l'évalue :

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