Autrement dit, deux vecteurs sont colinéaires si l’un est un multiple de l’autre. $\centerdot\ \ $ Soient $I$ et $J$ deux points distincts, on a $M\in\;(IJ)$ si, et seulement si, $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{IM}$ colinéaires. "⃗ et (⃗ sont colinéaires signifie qu’ils ont même direction c’est à dire qu’il existe un nombre réel @ tel que !"⃗=@(⃗. (\vec{u}+\vec{v})=a.\vec{u}+a.\vec{v}$, $\centerdot\ \ (a+b).\vec{u}=a.\vec{u}+b.\vec{u}$, $\centerdot\ \ a. Le vecteur $\vec{w}$ est indépendant du point $A$ choisi mais dépend uniquement des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}.$. $\centerdot\ \ \overrightarrow{AC}=k.\overrightarrow{AB}$ alors $A\;,\ B$ et $C$ sont alignés. Par définition, le vecteur nul ; noté $\vec{0}$ est un vecteur qui a pour longueur 0. Multiplication d'un vecteur par un nombre réel. (b.\vec{u})=(a.b).\vec{u}$, $\centerdot\ \ a.\vec{u}=\vec{0}$ si, et seulement si, $a=0$ ou $\vec{u}=\vec{0}$, Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s'il existe un réel $k$ tel que $\vec{v}=k.\vec{u}.$. III. Soient $\vec{u}\;,\ \vec{v}$ et $\vec{w}$ trois vecteurs et un plan, on a : $\centerdot\ \ \vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}$, $\centerdot\ \ \vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})=(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}$, \begin{eqnarray}\overrightarrow{NA}+(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CN}) & = & (\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{AM})+\overrightarrow{CN} \nonumber \\ & = & \overrightarrow{NM}+\overrightarrow{CN} \nonumber \\ & = & \overrightarrow{CN}+\overrightarrow{NM} \nonumber \\ & = & \overrightarrow{CM} \nonumber \end{eqnarray}. On a $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}$, $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}$, On a  $I$ milieu d'un segment $[AB]$ alors $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}$, Soient $A\;,\ B\;,\ C\;,\ D\;,\ E$ et $F$ six points du plan tels que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{EF}$, On a $\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EF}$, $\centerdot\ \ $ Si $k>0$ alors $\vec{v}=k.\vec{u}$ signifie que les vecteurs $\vec{v}$ et $\vec{u}$ ont la même direction, le même sens et que la longueur du vecteur $\vec{v}$ est égale à $k$ fois la longueur du vecteur $\vec{u}.$, $\centerdot\ \ $ Si $k<0$ alors $\vec{v}=k.\vec{u}$ signifie que les vecteurs $\vec{v}$ et $\vec{u}$ ont la même direction, de sens opposés et que la longueur du vecteur $\vec{v}$ est égale à $k$ fois la longueur du vecteur $\vec{u}.$, $\centerdot\ \ $ Si $k=0$ alors $\vec{v}=0.\vec{u}=\vec{0}$. Soit $I$ milieu d'un segment $[AB]$ d'un plan. Remarques: Puisque le vecteur est non nul, alors le nombre réel k est forcément différent de 0. Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs… Un vecteur $AB$, noté $\overrightarrow{AB}$ et défini comme étant un segment orienté est principalement caractérisé par : $-\ $ Sa direction : celle de la droite $(AB)$. Le contenu de ce champ sera maintenu privé et ne sera pas affiché publiquement. La relation de Chasles est une interprétation de l'addition vectorielle. Les adresses de pages web et de courriels sont transformées en liens automatiquement. Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs du plan, $a$ et $b$ deux nombres réels ; on a : $\centerdot\ \ a. Par conséquent deux vecteurs (x u;y u) et (x v;y v) sont colinéaires si x u.y v - y u.x v = 0 Utiliser la colinéarité - Pour montrer que deux droites sont (AB) et (CD) sont parallèles il suffit de vérifier que les vecteurs et sont colinéaires (en utilisant l'une des 3 … Colinéarité. $\centerdot\ \ $ Soient quatre points $A\;,\ B\;\ C$ et $D$ tels que $A\neq D$ et $B\neq C$, on a $(AB)\parallel(DC)$ si, et seulement si, $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ colinéaires. Soient $A$ et $B$ deux points d'un plan, on a  $\overrightarrow{AA}=\vec{0}$ et  $\overrightarrow{AB}=\vec{0}$ si, et seulement si, $A=B.$, Le vecteur nul a toutes les directions possibles ; $t_{\vec{0}}(M)=M$, Quelque soit un vecteur $\vec{u}$ d'un plan, il existe un vecteur  $\vec{u}'$ de ce plan tel que $\vec{u}+\vec{u}'=\vec{u}'+\vec{u}=\vec{0}$, Le vecteur $\vec{u}'$ est appelé le vecteur opposé de $\vec{u}$, Soit donc $\overrightarrow{AB}$ un vecteur du plan ; on a :$\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}.$, \begin{eqnarray}\overrightarrow{AB}+(-\overrightarrow{AB}) & = & \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA} \nonumber \\ & = & \overrightarrow{AA} \nonumber \\ & = & \vec{0} \nonumber \end{eqnarray}, Si $I$ milieu de $[AB]$ alors $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}$, Si $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}$ alors $I$ milieu de $[AB]$. I Vecteurs colinéaires Définition : Deux vecteurs non nuls u et v sont dits colinéaires si, et seulement si, il existe un réel k tel que u =kv Remarque : Comme 0×u = 0, on considère que le vecteur nul est colinéaire à tous les autres vecteurs. Entraîne-toi avec des exercices sur le sujet suivant : Vecteurs colinéaires, coplanaires ou orthogonaux, et réussis ton prochain contrôle de mathématiques en Terminale S (2019-2020) Chap 3 Vecteurs. $\centerdot\ \ $ Les points $A\;,\ B$ et $C$ sont alignés si, et seulement si, $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ colinéaires. 1) Vecteurs colinéaires Définition : Deux vecteurs non nuls ! Deux vecteurs non nuls et sont colinéaires s’il existe un nombre réel k tel que . $A$ et $A'$ étant donnés deux points, $B$ un point de ce plan ; on construit le point $B'$ tel que, On notera $t_{\overrightarrow{AA'}}(B)=B'$ c'est à dire $\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{BB'}$, $$\text{Si }\left\lbrace\begin{array}{lll} \cdot\;(AA')\parallel(BB') \\ \cdot\;[AA')\text{ et }[BB')\;\text{ de même sens }\text{ alors, }\;\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{BB'}\\ \cdot\;AA'=BB'\end{array}\right.$$, $\centerdot\ \ $ Si $I$ milieu de $[AB]$ alors $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}$ ou encore $\overrightarrow{IA}=-\overrightarrow{IB}$, Ainsi, si $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}$ ou $\overrightarrow{IA}=-\overrightarrow{IB}$ alors $I$ milieu de $[AB].$. Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BA}$ ont la même direction et la même longueur mais ils ont des sens contraires (opposés). Plus d'information sur les formats de texte. Et si : $\left\lbrace\begin{array}{lll} M\in\;[AB] \\ N\in\;[AC] \end{array}\right.\quad(MN)\parallel(BC)$ ou $\left\lbrace\begin{array}{lll} A\in\;[BM] \\ A\in\;[CN] \end{array}\right.$ avec $\left\lbrace\begin{array}{lll} \overrightarrow{AC}=k.\overrightarrow{AN} \\ \overrightarrow{BC}=k.\overrightarrow{MN}\end{array}\right.$, Cette page est super,nous aimerons les cosultée toule temps merci. 2) Vecteur directeur d’une droite … Calculons les sommes vectorielles suivantes : \begin{eqnarray}\overrightarrow{CS}+\overrightarrow{ST}+\overrightarrow{TP} & = & \overrightarrow{CT}+\overrightarrow{TP} \nonumber \\ & = & \overrightarrow{CP} \nonumber\end{eqnarray}, \begin{eqnarray}\overrightarrow{RS}-\overrightarrow{TS} & = & \overrightarrow{RS}+\overrightarrow{ST} \nonumber \\ & = & \overrightarrow{RT} \nonumber\end{eqnarray}. Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs d'un plan et $A$ un point de ce plan. Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BA}$ ont la même direction et la même longueur mais ils ont des sens contraires (opposés).

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