Racines carrées d’un nombre complexe Pour z 2C, une racine carrée est un nombre complexe!tel que!2 = z. Les nombres complexes avec un cours de matsh en terminale S faisant intervenir la notion de conjugué et d'argument. Si et si M est le point d'affixe z, arg(z) est l'angle (ü,OM) et • L’impédance complexe Z d’un dipôle passif est définie par : • Rappels mathématiques sur les nombres complexes : 1) Un nombre complexe Z peut s’écrire sous la forme : F = 1 T F s’exprime en Hertz (Hz) T s’exprime en seconde (s) Ueff = Umax 2 Z = U I Interpr´etations g´eom´etriques des nombres complexes. L'argument d'un nombre complexe non nul $ z $ est la valeur (en radians) de l'angle $ \theta $ entre l'abscisse du plan complexe et la droite formée par $ (0;z) $. Ce point M est appel´e point image de z et le vecteur OM =(a,b) est appel´e vecteur image de z, tandis que z = a+ib est l’affixe du point M ou du vecteur OM II. Racines n 2/ 2 2/ 2 Notion exponentielle Forme trigonométrique d’un complexe non nul Formules d’Euler Formule de Moivre -èmes d’un complexe non nul 2/ 2 . ( ) θ= = + π = = ≥ (z) , 2k r z OM ; r 0 Arg Ox OM On note alors le nombre complexe z sous la forme polaire : z =[r, θ] 4. 1) … IV– Argument d’un nombre complexe non nul: Le plan P est muni d’un repère orthonormé direct (O;u ; v). Affixe d’un point. Définition . Module et argument Les nombres complexes ont d’abord ´et´e utilis´es pour la r´esolution des ´equations alg´ebriques mais d`es la fin du XVIIIe si`ecle ils ont eu une interpr´etation g´eom´etrique. 2.2 Représentation des nombres complexes Théorème 1 : A tout nombre complexe z =a +ib, on peut faire correspondre un point M(a;b)dans un plan orthonormal (O, −→ u, −→ v) On dit que z est l’affixe de M. On écrit alors M(z). Calculer le module et l’argument de chacun des nombres complexes suivants √6 √2 1 33 %√3 &%55 √3& 1 3√33 4 1 Exercice 13 Ecrire les nombres complexes suivants sous forme trigonométrique √ 1 5 1 √3 1 %1 √3& : 3; Exercice 14 On considère le nombre complexe %√31 & %√3 1&. On considère l’équation (E) : z2=−8i. Forme trigonométrique Soit un nombre complexe de forme polaire z =[r, θ]. • Le nombre complexe z = a + i b est appelé l’affixe du point M (a ; b) ou du vecteur OM (a ; b). --> le module d'un nombre complexe est un nombre réel positif. Montrer que (1+i) 6=−8i 2. 1) D eterminer le module et un argument des nombres complexes suivants : z 1 = 3 z 2 = 4 z 3 = i z 4 = 3i z 5 = 2 + 2i z 6 = 2 2i z 7 = p 3 + 3i 2) Ecrire ces nombres complexes sous forme trigonom etrique et exponentielle. 2) En déduire que l’équation f(z) = 0 admet deux nombres imaginaires purs comme solution. Cours Nombres complexes pdf : C’est un nombre qui peut s’écrire sous la forme a+bi, où a et b sont des nombres réel et i un nombre imaginaire tel que i²=-1. 3) Image d’un conjugué Remarque : Les images / et /’ de + et +̅sont symétriques par rapport à l'axe des réels. Nombres complexes Avec les nombres complexes, cette calculatrice réalise les opérations suivantes. Proposition 3. 3) Démontrer qu’il existe deux nombres réels α et β que l’on déterminera, tels que, pour tout nombre complexe z, f(z) = (z2 +9)(z2 +αz +β) 4) Résoudre alors dans C, l’équation f(z) = 0 Forme trigonométrique d’un nombre complexe Exercice23 • Argument de I ou Arg I représente la phase de i(t) à la date t = 0. En effet, les nombres complexes et les fractales restent des domaines assez méconnus de tous, alors qu'ils sont au fond incroyables, passionnants ! Argument d'un nombre complexe non nul (O;⃗u,⃗v)est un repère orthonormé direct du plan complexe. 2.Nombre de module 3 et d’argument p=8. Propriété : Cette application est réciproque (bijective). Cours Nombres complexes pdf. A tout point M(x ; y) du plan P on associe le nombre complexe z = x + i y on dit que. 3 Puissance d’un nombre complexe 6 4 D´etermination d’ensembles de points dans le plan complexe 7 5 Exercices complets type Bac 8 1 Formes alg´ebrique, trigonom´etrique et exponentielle Exercice 1 : Ecrire sous forme alg´egbrique les nombres complexes suivants : 1. z1 = (1+2i)(−2 +i) Remarque 4.6 Interprétation graphique : Sur cet exemple, on peut dire que arg(z) = [2ˇ].On notera également que le module de zcorrespond, sur ce dessin à la longueur OM. Remarques : . On appelle module de +, le nombre réel positif, noté |+|, égal à √)D+*D. Écrire sous la forme a+ib les nombres complexes suivants : 1.Nombre de module 2 et d’argument p=3. Un argument du nombre complexe … Dans l’ensemble ℂ des nombres complexes, i désigne le nombre de module 1 et d’argument /2. A tout vecteur W de coordonnées (x , y) , on associe le nombre complexe z = x + i y.. z s’appelle l’affixe du vecteur W --> deux nombres complexes distincts peuvent avoir le même module. Module d’un nombre complexe Argument d’un nombre complexe non nul. On appelle argument du nombre complexe z l'angle polaire du vecteur image OM associé à z (à 2 kπ près). Outil pour calculer la valeur de l'argument d'un nombre complexe. Indication H Correction H Vidéo [000003] Exercice 3 Calculer le module et l’argument de u= p 6 i p 2 2 et v=1 i. Tout dépend de la forme du nombre complexe, si le nombre complexe n'est sous aucune forme connue ( algébrique, trigonométrique, exponentielle ) il faut que l'on puisse utiliser les propriétés relatives aux modules sinon il faut se ramener à une des formes : Figure 1.2 Représentation trigonométrique d’un NC (Z). L'unité de mesure des angles est le radian. Par exemple si x 2R +, on connaît deux racines carrées : p x, p x. Autre exemple : les racines carrées de 1 sont i et i. Module et argument d’un nombre complexe 1) Module Définition : Soit un nombre complexe +=)+.*. On dit que est défini z ∈C*,z=a+bi M est l'image ponctuelle dez. Argument : Un argument d’un omplexe ayant pour image un … A tout nombre complexe z = a + ib on associe le point M b a. z = a + ib ֏ M b a. L'argument principal d'un complexe est son argument qui appartient à ] ˇ;ˇ]. La représentation polaire est donnée sous la forme suivante : = , (1.3) 5.2 Argument d’un nombre complexe Dans un rep`ere orthonormal (O;~u;~v), on consid`ere le point M d’affixe z non nulle. 2.1. • Opérations arithmétiques (additions, soustractions, multiplica-tions, divisions) • Calcul de réciproques, de racines carrées et du carré d’un nombre complexe • Calcul de la valeur absolue et de l’argument d’un nombre complexe Forme trigonométrique et forme exponentielle d'un nombre complexe non nul 3.1. De plus, les fractales sont au coeur de la recherche en mathématique et physique actuelle. On appelle la forme trigonométrique d’un nombre complexe z, l'écriture : = | | (⁡ + ⁡ ()) de ce nombre pour n’importe quelle mesure de l'angle .. Dans cette écriture on retrouve directement le module et un argument (la plupart du temps l'argument principal). a. Déduire de 1) une solution de l’équation (E). Nombres complexes, Forme algébrique, Opérations sur les nombres complexes, Inverse d’un nombre complexe, Nombre conjugué, Module d’un nombre complexe, Argument d’un nombre complexe, Forme exponentielle d’un nombre complexe, 2 bac inter, sciences mathématiques A et B biof, PDF, Mathématiques, Mathématiques BIOF, baccalauréat international maroc, baccalauréat … Le nombre conjugué d’un omplexe est le nombre complexe égal à . L'argument d'un nombre complexe est donc dé ni à 2kˇprès, avec k2Z. Cette leçon sur les nombres complexe est à télécharger en PDf gratuitement. b. L’équation (E) possède une autre solution ; écrire … Argument d’un nombre complexe - D emonstrations de cours - ROC Soit zun nombre complexe non nul. z est l’affixe du point M on la note z M. Affixe d’un vecteur. Cours et exercices en vidéo pour savoir déterminer le module, un argument d'un nombre complexe, une forme exponentielle et trigonométrique, applications en géométrie 3. Module et argument d'un nombre complexe. 1. II) Forme trigonométrique d’un nombre complexe Soit V un nombre complexe non nul dont le module est r et un argument est On note : M le point image de V N l’intersection de la demi droite [OM) avec le cercle trigonométrique On a donc : 1 / , , , , , , & L N 1 0 , , , , , , , & Les nombres complexesModule d’un nombre complexe On appellemoduledu nombre complexe z, le nombreréel: jzj= p z. z = ˘ x2 + y2 É jzj= j zj= j zj, jxj jzj, jyj jzj É jzj= 0, z = 0 É jz.z 0j= jzj.jz0j É jz + z 0j jzj+ jz0j Attention : Ne pas confondremodule d’un nombre complexe avecvaleur absolue. Comment calculer le module d'un nombre complexe ? http://www.mathrix.fr pour d'autres vidéos d'explications comme "Module et Argument d'un Nombre Complexe" en Maths. Soit z un nombre complexe, alors z … Les coordonnées polaires donnent une manière alternative de représenter un nombre complexe. 4.1.2 Repr´esentation g´eom´etrique d’un nombre complexe * Le nombre complexe z = a+ib est associ´e au point M =(a,b) du plan muni du rep`ere orthonorm´e direct (O,i,j). --> le module d'un nombre réel est égal à sa valeur absolue, c'est pour cela qu'on conserve la notation avec les deux barres " | x | ". 2- Arguments d'un nombre complexe non nul Définition : Dans le plan complexe, z est un nombre complexe non nul de point image M. On appelle argument de z et on note arg (z), toute mesure en radians de l'angle orienté: ( ; OM) . Complément : Module d'un nombre complexe Si alors Si et sont les affixes respectives de deux points A et B, alors est l'affixe du vecteur et Complément : Argument d'un nombre complexe Un nombre complexe a une infinité d'arguments, définis à près : Si est l'un d'entre eux, les autres sont de la forme où . Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct ( O , u ⃗ , v ⃗ ) . 1.4.1 Représentation polaire d’un NC Soit un nombre complexe (≠0 ), avec , le module et l’argument respectivement.

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